Matematik Ve Sabun Köpüğü

Efendim, başlığı okuyup da “Ne alakası var?” demeyin. Bilakis çok alakası var. Zaten kainatta rastgele, düzensiz,kanunsuz bir hadisenin gerçekleşmeyeceğini, her şeyin bir ölçü (Bunu, konumuza bakan yönüyle matematik olarak da anlayabiliriz.) üzere yaratıldığını bilenler için matematiğin yanma, değil sabun köpüğünü, eşyalar dünyasından neyi koyarsanız koyun bir anlam taşıyacaktır.

Matematik, hiç de öyle üçüncü şahısların düşündüğü gibi kendi içine kapalı, pratik hayatla pek de ilişkisi olmayan, soyuttan somuta, kağıt üstünden uygulama alanına geçirilemeyen bir bilim dalı değildir. İnsanların, koyunlarının sayısını öğrenmek ihtiyacı (veya bizim tahmin edemediğimiz başka basit bir ihtiyaç) ile başlayan matematik serüveni, bugün tıptan mühendisliğe, iktisattan astronomiye kadar pek çok bilim dalında sürmektedir. Matematik bazen tek başına bazen de diğer bilim dallan ile kurduğu ortaklık sayesinde, insanlığın istifadesine yeni teknolojiler sunulmasına vesile olmaktadır.

İKİ BOYUTLU EN VERİMLİ GEOMETRİK ŞEKİL

Eski zamanlarda insanlar, “Sabit uzunlukta bir malzemeye (meselâ belli uzunluktaki bir ipe) hangi geometrik şekil verilerek en büyük alanın etrafı çevrilehilir?” sorusunun cevabını aramışlardır. Benzer olarak biz de. “Verilen bir alanın etrafını çevirerek hangi geometrik şeklin kenar uzunluğu en kısadır?” sualini sorabiliriz. Roma mitolojisinde anlatılan bir hikaye vardır: Abisinin, kocasını öldürmesi üzerine Dido, antik Fenike Devletinin başşehri Sur’daki evinden ayrılır ve yeni bir şehir kurup yerleşmek üzere Kuzey Afrika’ya gelir. Yörenin kralı, Dido’nun, ancak bir öküz derisinin kaplayıp kuşatacağı kadar arazi satın almasına izin verir. Dido, daha fazla toprak elde etmek için öküz postunu uzun ince şeritler halinde keser, uç uca ekler ve bunlar ile şimdi Kartaca diye bilinen Byrisa tepesinin çevresini daire şeklinde kuşatır. Dido’nun yaptığı gibi, insanlar, çok öncelerden beri yukarıdaki probleme çözüm olarak daireyi kullanmışlardır. Ancak matematikçilerin bunu ispat etmeleri uzun zaman almıştır. Milattan önce 3. ve 4. yy.‘lara dayanan çalışmalara araştırmacılar 19.yy.’da son noktayı koyarak, verilen bir alanın etrafının ancak daire ile çevrilirse en kısa kenar uzunluğu elde edilebileceğini ispatlayabilmişlerdir.

EN VERİMLİ YÜZEY

İki boyutlu en verimli geometrik şekil probleminin cevabı daire olarak verildikten sonra, “Verilen bir hacmi kapsayacak en verimli yüzeyin küre olup olmadığı ?” sorusu tartışılmaya başlanmıştır. Yine 19. yy.’ın sonlarında bu öngörü de matematikçiler tarafından ispat edilir. Bu ispata göre küre, diğer üç boyutlu cisimlerin yanında belli bir hacmi en az yüzeyle kaplayan tek geometrik şekildir. Tabiatta, küreye yakın olan pek çok şey vardır. Bunların yanında bizim küre zannettiklerimiz de oldukça çoktur; hücreler, yağmur damlaları gibi. Oysa bunlar, hava akımları, yerçekimi, moleküllerin hareketi gibi çeşitli faktörler sebebiyle matematik anlamda gerçek bir küre olarak kalamazlar. Tabiatta, küreyi mükemmel olarak temsil eden hemen hemen tek şey sabun köpüğüdür. Bu özelliklerinin yanında sabun köpüğü matematik biliminde en küçük yüzey problemlerine yardımcı olacak ilginç özelliklere de sahiptir. Bunlardan birisi birbirine yapışmış iki sabun köpüğündeki harikuladeliktir (Şekil-l). Böyle çift hacimli şekiller yeni bir soruyu gündeme getirmiştir. Acaba iki aynı hacim en verimli bir şekilde nasıl kaplanabilir? Aslında, iki hacimli bir sabun köpüğü çok değişik düzenlemelerle elde edilebilir. Şekil-3’teki köpükler (hacim) buna güzel bir örnek teşkil etmektedir. Büyük resim bir “torus” köpüğünü göstermektedir. Bu şekil, bir can simidinin ortasında şişirilmiş bir balon gibi düşünülebilir. Bunun yanında. ayrı parçalardan oluşmuş köpükler de üretilebilir (sol resim). Sonsuz çeşitlilikte düşünülebilecek bu iki hacimli şekillerin hepsi de en küçük yüzey problemini çözmeye adaydır. Matematikçiler, gerek çeşitli “torus” köpüklerini gerekse ikiz sabun köpüğünü karşılaştıran gelişmiş bilgisayar programları hazırlamışlar ve bu şekillerden hangisinin en küçük yüzeye sahip olduğunu tespit etmişlerdir. Sonuç olarak, 1995 yılında, eşit olmaları şartıyla verilen iki hacmin yüzeyini en küçük alan ile kaplayacak olan şeklin ikiz sabun köpüğü olduğunu ispatlamışlardır. Bu sonucun bizi düşünmeye sevkeden çok ilginç bir yanı vardır; zira, ikiz sabun köpüğü (Şekil-l) yukarıda anlatılan şekliyle tabiatıa oluşabilen tek şekildir. Çocuğumuzun deterjanlı sudan üfleyerek yaptığı sabun köpükleri bunlara iyi bir misal teşkil etmektedir. Bu yapı. teknik uygulamalarda da önemli bir öneme sahip olabilmektedir. Örneğin; ikiz sabun köpüğü şeklinde bir deponun kullanılması, roketlerde kullanılan çift yakıt tanklarının ağırlığını önemli ölçüde azaltabilecektir.

SABUN KÖPÜĞÜNÜN İLGİNÇ ÖZELLİKLERİ

Kolayca bir sabun köpüğü oluşturabilmemize rağmen, kısa ömürlü ve nazik yapıları sebebiyle üzerlerinde sistematik olarak çalışmak zordur. 19. yy.’da sabun köpükleri üzerinde gerçekleştirilen pek çok deneyde sabun köpüğünün geometrisini anlatan dört yasa (Pletau yasaları) keşfedilmiştir (Şekil-2):

1- Sabun köpüğü zarı pürüzsüz (çok düzgün) parçacıkların bir araya gelmesinden oluşur.

2- Sabun köpüğü yüzeyini oluşturan her pürüzsüz parçacığın ortalama eğriliği sabittir.

3- Üç sabun köpüğü bir araya geldiğinde birbirinden 12Oº açı ile ayrılan düzgün yüzeyler oluştururlar.

4- Altısı bir araya geldiğinde ise öyle bir şekil meydana gelir ki, orada her eğri çifti arasındaki açı eşit ve yaklaşık 1O9º’dir.

Bu kaideler, bütün sabun köpükleri için geçerlidir. Yapılan araştırmalar. bu dört kurala aykırı davranan sabun köpüğünün olmadığını göstermiştir.

Sabun köpüklerinde çok bariz olarak görülen matematiksel intizam ve güzellik, keşfedilen tabiat kanunlarında, kâinatın bütün parça ve sistemlerinde de kendini göstermektedir. Düzenin ve ahengin formülasyonu olan matematiğin tabii bilimlerin yapısına bu derece işlenmiş olması. Kâinatın Mimarı’nın en büyük matematikçi olduğunu karşı konulmaz bir şekilde ortaya koymaktadır.